Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre $\pi$ . Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon  $1$ et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés $n$ , il encadre ainsi le nombre  $\pi$ : 
demi-périmètre du polygone inscrit $<\pi <$ demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à  $n=3\times 2^m$ côtés,  $m$ étant un entier naturel. Pour  $m=5$ (c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement  ${\displaystyle \frac{223}{71}}<\pi <{\displaystyle \frac{22}{7}}$ . 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).