Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre \(\pi\) . Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon  \(1\) et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés \(n\) , il encadre ainsi le nombre  \(\pi\) : 
demi-périmètre du polygone inscrit \(<\pi<\) demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à  \(n=3 \times 2^m\) côtés,  \(m\) étant un entier naturel. Pour  \(m=5\) (c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement  \(\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }\) . 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).